Los enigmáticos fractales y sus insospechados usos


Más de alguna vez hemos escuchado la palabra “fractal”, y la asociamos a bonitas imágenes. Dicen que son mágicos (y algo tienen de eso, ya veremos), que son místicos (mmm, eso ya depende de quien lea), y que son muy muy especiales (eso sí que es cierto).

Los fractales son uno de los descubrimientos matemáticos más populares y ubicuos del siglo XX. Están en la naturaleza, y tienen aplicaciones científicas y tecnológicas insospechadas. Pues sí: en la medicina, en geografía, en bioquímica… ¡incluso en arqueología!. Y además, son muy lindos. Veamos que hay detrás de esta "infinita" repetición de cuadros en el mundo que nos rodea.

¿Qué son los fractales?

Aunque el concepto general se arrastra desde la época de Leibnitz, y fue tocado por grandes matemáticos como Georg Cantor (el de las matemáticas transfinitas), la idea fue sistematizada por el matemático Benoît Mandelbrot, quien además acuñó el término fractal en 1975.

El nombre proviene de la palabra latina “fractus”, que significa “fracturado”. Esto, porque un fractal a primera vista pareciera ser, efectivamente, una figura basada en quebrar figuras geométricas más simples, y porque posee dimensiones que no son enteras, sino que fraccionarias (eso que suena tan extraterrestre, lo veremos un poquito más adelante).

Aparte del asunto de las dimensiones, un fractal es un objeto geométrico, específicamente una curva, que tiene al menos dos características más desde el punto de vista matemático:

  • Tiene autosimilitud. ¿Cómo dijo? O sea, no se puede distinguir si lo miran de lejos, o de cerca, porque si hacen “zoom” sobre una parte pequeña, se ve igual que una parte grande del fractal. Creo que una imagen vale más que mil palabras. Pido disculpas, pero es algo como esto:

  • Se trata de una línea continua, pero donde es imposible dibujar una tangente, porque tiene “pinchitos” o “puntitas” que impiden hacerlo. Recordemos que una tangente, es una línea única, que toca en un solo punto a una curva. Cuando hay una "punta", pueden haber muchas líneas que pasen por ese punto, como un balancín que puede estar en muchos ángulos. O sea, no existe esa línea única. En términos matemáticos, se dice que es “no diferenciable”, o sea, no se puede dibujar una derivada, por culpa de los pinchitos.

Sobre el resto de las características, los matemáticos aún no se ponen bien de acuerdo, pero si cumple con las mencionadas, se trataría de un fractal.

¿Cómo se construye un fractal?


Como lo que les acabamos de contar, es del tipo de cosas a las que uno dice “sí, sí, claro”, pero cuando lo piensa se da cuenta que no entendió nada, les mostraremos cómo se construye un fractal, uno de los más simples. El llamado “copo de nieve de Koch”.

Partimos con un simple e inocente triángulo.



A ese triángulo, le agregamos otros triángulos en la mitad de cada lado.


A cada uno de los triángulos agregados, le ponemos triángulos más pequeñitos, en la mitad de cada uno de sus lados.

¡Y repetimos hasta el infinito y más allá!




Y si le hacemos zoom, se ve así:



Como ven, si nos acercamos, no podemos diferenciar cuando estamos “cerca” y cuando “lejos”.

El resto de los fractales se construye de una manera muy parecida: se fija una regla para la construcción de la imagen, y se repite infinitamente. Esto puede incluir giros en ángulos determinados, repetición del dibujo a escalas que van variando, etc.


Fuente:ELDEFINIDO

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